2012年6月10日星期日

【基測】101基測數學科解答【附詳解】1~34

101學年度 國民中學學生基本學力測驗 數學科解答
CBAAA BCCDB DBDAC BBDAC DACAA DCBCC DBDD
國民中學學生基本學力測驗推動工作委員會 試題下載:
101基測數學科題本
相關觀念與詳解,由iMath高中數學提供:

1.(C) 相關觀念:中位數
詳解 盒狀圖的中位數為盒中短線
故由圖讀出男生身高中位數為165,女生身高中位數為160<165,亦即
(1) 有一半的男生和超過一半的女生,身高小於165,故全班身高中位數小於165;
(2) 有一半的女生和超過一半的男生,身高大於160,故全班身高中位數大於160。
由(1)(2)得到的全班身高中位數範圍是 160~165


2.(B) 相關觀念:餘數
詳解 設餅乾買了x包,花了13x元,則小明一天共花了 50+90+120+13x=260+13x元
剩下 300-(260+13x)=40-13x元
x=0,1,2,3代入,分別得出剩下40,27,14,1元,只有14在選項中


3.(A) 相關觀念:二元一次聯立方程式的解
詳解 加減消去法:(1)減(2)得
4y=11-(19-2y)=-8+2y
移項2y=-8,得y=-4


4.(A) 相關觀念:根號比大小
詳解 3<√15<4<√17<√19<5
所以5+3<甲<5+4,即 8<甲<9;3+4<乙<3+5,即 7<乙<8;1+4<丙<1+5,即 5<丙<6
故甲、乙、丙大小關係必為 丙<乙<甲





5.(A) 相關觀念:列出一元一次不等式
詳解 (A) 可列出不等式 0.3(2x-100)<1000
(B) 可列出不等式 0.7(2x-100)<1000
(C) 可列出不等式 0.3*2x -100<1000
(D) 可列出不等式 0.7*2x -100<1000
選項(A)為題目所敘述之不等式


6.(B) 相關觀念:最大公因數短除法最小公倍數
詳解 繼續對兩兩的數做短除法,直到兩兩互質
2 )------------
2 ) 4, 6, 9
3) 2, 3, 9
互質2, 1, 3

故最小公倍數為2*2*3*2*1*3=72

7.(C) 相關觀念:科學記號
詳解 一億元 = 10000萬元 = 100000000 元 = 10^8 元 (1後面接八個0)
故4070億元 = 4070*10^8 = 4.07*10^11 (小數點左移3位)


8.(C) 相關觀念:倍數、比例
詳解 一人份要20克砂糖,故六人份要20*6=120克砂糖
已加入50克砂糖,還需120-50=70克砂糖
欲等比例換算成糖漿x小匙,則依食譜得
20:6=70:x,得x=6*70/20=21


9.(D) 相關觀念:平行線、三角形的高
詳解 三角形面積=底BC*BC上的高/2
FBC與EBC同底,故面積較大代表對BC的高較長
E在BC的平行線AD上,故AD上任一點對BC的高與E相同,故不選(C);
在AD和BC平行線之間的點,對BC的高小於AD和BC間的距離,故不選(A)(B);
在AD之外的點,對BC的高大於AD和BC間的距離,故選(D)


10.(B) 相關觀念:線對稱
詳解 原圖形的第一、二列灰色為線對稱圖形,以大正方形的右上-左下斜對角線為對稱軸,但第三、四列的灰色圖形斜對稱軸不是同一條。
(A) 加(一列,四行):一、二列圖形仍為斜對稱軸之線對稱圖形,但第三、四列的圖形斜對稱軸仍不是同一條。
(B) 加(二列,一行):形成以大正方形的右上-左下斜對角線為對稱軸,一個線對稱圖形。
(C) 加(三列,三行):三、四列形成線對稱圖形,但斜對稱軸與一、二列的圖形不同。
(D) 加(四列,一行):三、四列形成線對稱圖形,但鉛直對稱軸與一、二列的圖形不同。


11.(D) 相關觀念:弦切角、圓周角
詳解 弧DA的度數=2*弧DA弦切角=2*角DAE=2*12=24
設AB、BC、CD的弧度數均為x度,則角ABC為弧CA圓周角=(x+24)/2度
由24=弧DA的度數=360-3x,解得x=112
故角ABC=(112+24)/2=68度


12.(B) 相關觀念:機率
詳解 紅色牌或黃色牌共有3+3=6張
箱中牌共有3+3+5+4=15張
故機率=6/15=2/5


13.(D) 相關觀念:分數乘法、負數乘法
詳解 原式 = (-1000 -1/5)*(-5) = 5000 + 1 = 5001


14.(A) 相關觀念:因式分解
詳解 十字交乘法
2 -2
4 -1
故得分解式 (2x-2)(4x-1),選(A)2x-2


15.(C) 相關觀念:尺規作圖、圓內線段與半徑
詳解 尺規作圖:以A為圓心,AO為半徑畫弧,交大圓於兩點,這兩點即為所有使線段長OA=AB 的B點們


16.(B) 相關觀念:等腰三角形的重心
詳解 AB=AC,故等腰三角形內中線也是底BC的高。
將AM延長交底線BC於H,得直角三角形AHB的兩邊長AB=17, BH=BC/2=16/2=8, 故AH=√(17^2-8^2)=15。
因為M是重心,所以中線AH內兩線段比例AM:MH=2:1,得AM=15*2/(2+1)=10


17.(B) 相關觀念:列出二元一次方程式、二元一次方程式圖形
詳解 y = (x*3+6)/3 – x = x+2-x=2
故選y=2圖形(B)


18.(D) 相關觀念:二次函數係數與圖形關係
詳解 整理得y = (a-5)x^2+(b-3)x+(c+7)
y有最低點,故圖形開口向上,二次項(a-5)>0,得a>5
選項僅(D)a=6合


19.(A) 相關觀念:絕對值在數線上的意義
詳解 |a-c|為數線上點a和點c的距離,即線段ac長
(A) |a|+|b|+|c|為原點O到點a、點b、點c的距離和Oa+Ob+Oc,大於Oa+Oc=ac長
(B) b點在a、c之間,故距離|a-b|+|c-b|=線段ab+bc=ac
(C) d點在c點右邊,故距離|a-d|-|d-c|=線段ad-dc=ac
(D) |a|+|d|-|c-d|=Oa+Od-cd=ac


20.(C) 相關觀念:次數分配表、相對次數比率
詳解 公司共有200人
由相對次數表,未汙損範圍的人數和為6+40+42+2=90
故汙損範圍的人數和為200-90=110人
相對次數比率(a+b)%=110/200=55%,得a+b=55


21.(D) 相關觀念:正多邊形邊角關係、30-60-90三角形
詳解 (1)正六邊形內角和度數為 180*(6-2)=720,故每個內角為720/6=120度
(2) 等腰三角形ABC中,角B=120度,故角BCA=(180-120)/2=30度
推得角DCA=內角DCB-角BCA=120-30=90度,同理角CDF=90度
(3) 等腰梯形CDEB中,角CBE=角DEB=(360 -角C -角D)/2=(360-120-120)/2=60度
故對兩直線CD和BE,由BC同側內角互補得知兩直線平行
(4) 由(2)(3)得灰色四邊形為矩形,長邊CD=1,一短邊和BC構成30-60-90三角形,短邊長=1*(√3/2)= √3/2
(5) 故矩形周長為 2*(長邊+短邊)=2*(1+√3/2)=2+ √3,選(D)


22.(A) 相關觀念:圓柱體體積、圓柱體表面積
詳解 體積較大的直圓柱體,底面積一樣是9π平方公尺,得底面圓半徑為3
高變成15* 2/(1+2) = 10公尺
故其側面表面積為 底面圓周長*高=3*2π *10 = 60π平方公尺


23.(C) 相關觀念:指數律
詳解 原式=(2/3)^6 * (3/2)^4 = (2/3)^6 * (2/3)^(-4) = (2/3)^(6-4) = (2/3)^2


24.(A) 相關觀念:列出係數為分數的一元一次方程式
詳解 x元買30杯紅豆湯圓 => 一杯紅豆湯圓 x/30 元
x元買40杯豆花 => 一杯豆花x/40 元
所以,一杯豆花比一杯紅豆湯圓便宜10元 => x/40 = x/30 – 10
將 -10 移項整理得 x/30 = x/40 + 10,選(A)


25.(A) 相關觀念:象限、直線方程式交點
詳解 聯立 3x-y=-3和y=a,解得y=a=3x+3
交點在第二象限 => x<0,y>0, 故x<0, a=3x+3>0, 合併得 -1<x<0
故3(-1)+3<a<3(0)+3, 即 0<a<3。選項中僅(A)1<a<2在此範圍中。


26.(D) 相關觀念:乘法公式
詳解 根號內的式子
=(100+14)^2 – (50+14)^2 – 50^2
=100^2+2*100*14+14^2 -(50^2+2*50*14+14^2)-50^2
=100^2+2*14*(100-50) -2*50^2
=(2*50)^2+2*14*50 -2*50^2
=4*50^2+2*14*50 -2*50^2
=2*50^2+2*14*50
=2*50*(50+14)
=100*64
開根號後得答案為10*8=80


27.(C) 相關觀念:三角形邊長大小關係
詳解 三角形ABC中,CA=2。設AB=x,則BC=10-2-x=8-x
兩邊和大於第三邊 => x+2 > 8-x => 2x>6 => x>3
兩邊差小於第三邊 => x-2 < 8-x => 2x<10 => x<5
故僅有(C)x=4符合條件


28.(B) 相關觀念:等差數列
詳解 依照規則,1紅 => 2綠 => 3白 => 4紅 => 5綠 => 6白 => 7紅…
故以3個箱子為一組 (紅,綠,白),一圈將會有20/3=6組多的球。
考慮4號箱:第一圈4號一個紅球,第二圈4號一個綠球,第三圈4號一個白球,第四圈4號又一個紅球…故4號每三圈有一個紅球。
一百圈後,共有100/3=33個三圈,和最後一圈4號一個紅球,共計33+1=34個紅球。


29.(C) 相關觀念:梯形、三角形面積關係
詳解 梯形面積為 (4+8)*5/2=30
連接AC,三角形ADC面積為 8*5/2=20
DE:DC=1:(1+4)=1:5, 故ADE面積為20/5=4
得ABCE面積=梯形面積-ADE面積=30-4=26


30.(C) 相關觀念:二次函數的根、二次函數的圖形
詳解 與x軸交於兩點距離4 => 兩根距離4 => 兩根與對稱軸各距離2
又對稱軸為x=-5 => 兩根分別為-5-2與-5+2,即-7與-3
所以二次函數y=[x-(-3)]*[x-(-7)]=x^2+10x+21
x=-6代入得y=-3


31.(D) 相關觀念:因式分解、乘法公式
詳解 由乘法公式,3599=3600-1=60^2-1^2=(60+1)*(60-1)=61*59
故由十字交乘法
1 -61
1 59
知原式因式分解為 (x-61)(x+59)=0,得a=61,b=-59
故2a-b=2*61 – (-59) = 181


32.(B) 相關觀念:3-4-5直角三角形、相似三角形
詳解 直角三角形CDF中,CF=12-3=9,CD=12,故DF=√(9^2 + 12^2 = 3*5=15
三角形BFE與CDF中,角B=角C,角BFE=180-90 -角CFD = 90 -角CFD = 角CDF
故BFE與CDF相似(AA),對應邊成比例
小正方形邊長FE:BF=DF:CD,即FE:3=15:12,得FE=15* 3/12 = 15/4


33.(D) 相關觀念:尺規作圖、直徑、平行線截等比例線段、角平分線與弧
詳解 角B=90度,故AC弧為180度,AC線段為直徑。
先看乙的作法。因為AC是直徑,所以AC中點E即為外接圓的圓心。
連接EB線段,並設AP交AB線段於M點,則由平行線截等比例線段,得M為BC中點。
因為EC=EB,等腰三角形的中線OM亦為角BEC的平分線。
因此角BEP=角CEP,即弧BP=弧CP。乙找的P點正確。
再看甲的作法。AB不是直徑,但過D作AC平行線仍交BC線段於BC中點M(平行線截等比例線段)。
DM延伸出去和弧BC的交點,不同於EM延伸出去和弧BC的交點。所以甲找的P點必不正確。


34.(D) 相關觀念:30-60-90三角形、三角形全等、補角與餘角
詳解 直角三角形AEB中,斜邊BE=2AE,故三邊長成2:1: √ 3/2,為30-60-90三角形
故角ABE=30度…(1)
令角BCE=x度,角BEC=y度,考慮第二圖,y=角AEB+角CED -角AED=角AEB+角CED -15
即 角AEB+角CED=y+15…(2)
但第二圖的角AEB=第一圖的角AEB,第二圖的角CED=第一圖的角CED。
再考慮第一圖。角ABE與角CBE互為餘角,由(1)式得角CBE=60度。
再來,角AEB、角BEC、角CED構成一平角,故y=角BEC=180-(角AEB+角CED)
代入(2)式得y=180-(y+15), y=82.5
最後,三角形BCE的內角和為180度,故x+60+82.5=180,得解x=37.5

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